ПОЛНОТА СИСТЕМЫ РЕЗОНАНСНЫХ СОСТОЯНИЙ ДЛЯ ГРАФОВ РАЗЛИЧНОЙ ГЕОМЕТРИИ

Блинова И.В., Ван-Юн-Сян Я.М., Попов И.Ю. Полнота системы резонансных состояний для графов различной геометрии // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. 2019. Т. 19. № 1. С. 166–172. doi: 10.17586/2226-1494-2019-19-1-166-172

Резонансные состояния (квазисобственные функции) играют большую роль в задаче рассеяния и при описании транспортных процессов. Для квантовых графов, имеющих как конечные, так и бесконечные ребра, рассматривается полнота системы резонансных состояний на конечном подграфе. На ребрах графов действует оператор Шредингера. Учитывается связь задачи рассеяния с функциональной моделью Секефальви–Надя. В частности, матрица рассеяния является характеристической функцией функциональной модели, а вопрос о полноте системы резонансных состояний сводится к выяснению типа факторизации характеристической функции на произведение Бляшке и сингулярную внутреннюю функцию. Это позволяет использовать для доказательства полноты (неполноты) имеющийся в функциональной модели эффективный признак отсутствия сингулярного сомножителя при разложении на множители характеристической функции. Доказана неполнота системы резонансных состояний для графа типа «кольцо», соединенного с волноводом в одной точке (исходный граф). Исследуется зависимость полноты системы резонансных состояний от изменения геометрии исходного графа.

1. Leble S. Cyclic-periodic ZRP structures. Scattering problem for generalized Bloch functions and conductivity // Nanosystems: Physics, Chemistry, Mathematics. 2018. V. 9. N 2. P. 225–243. doi: 10.17586/2220-8054-2018-9-2-225-243
2. Boitsev A.A., Brasche J., Neidhardt H., Popov I.Y. A model of electron transport through a boson cavity // Nanosystems: Physics, Chemistry, Mathematics. 2018. V. 9. N 2. P. 171–178. doi: 10.17586/2220-8054-2018-9-2-171-178
3. Cevizovic D., Chizhov A.V., Galovic S. Vibron transport in macromolecular chains with squeezed phonons // Nanosystems: Physics, Chemistry, Mathematics. 2018. V. 9. N 5. P. 597–602. doi: 10.17586/2220-8054-2018-9-5-597-602
4. Багмутов А.С., Попов И.Ю. Вольт-амперные характеристики для двух систем квантовых волноводов с присоединенными квантовыми резонаторами // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. 2016. Т. 16. № 4(104). С. 725–730. doi: 10.17586/2226-1494-2016-16-4-725-730
5. Berkolaiko G., Kuchment P. Introduction to Quantum Graphs. Providence: AMS, 2012. 418 p. doi: 10.1090/surv/186
6. Popov I.Y., Popova S.L. Zero-width slit model and resonances in mesoscopic systems // Europhysics Letters. 1993. V. 24. N 5. P. 373–377. doi: 10.1209/0295-5075/24/5/009
7. Borisov D., Exner P., Golovina A. Tunneling resonances in systems without a classical trapping // Journal of Mathematical Physics. 2013. V. 54. N 1. doi: 10.1063/1.4773098
8. Botman S.A., Leble S.B. Electrical conductivity model for quasi-one-dimensional structures // Nanosystems: Physics, Chemistry, Mathematics. 2017. V. 8. N 2. P. 231–235. doi: 10.17586/2220-8054-2017-8-2-231-235
9. Gerasimov D.A., Popov I.Y. Completeness of resonance states for quantum graph with two semi-infinite edges // Complex Variables and Elliptic Equations. 2018. V. 63. N 7-8. P. 996–1010. doi: 10.1080/17476933.2017.1289517
10. Popov I.Y., Popov A.I. Line with attached segment as a model of Helmholtz resonator: Resonant states completeness // Journal of King Saud University Science. 2017. V. 29. N 1. P. 133–136. doi: 10.1016/j.jksus.2016.07.004
11. Popov A.I., Popov I.Y., Gerasimov D.A. Resonance state completeness problem for quantum graph // AIP Conference Proceedings. 2017. V. 1863. Art. 390002. doi: 10.1063/1.4992567
12. Blinova I.V., Popov I.Y. Quantum graph with the Dirac operator and resonance states completeness // Operator Theory: Advances and Applications. 2018. V. 268. P. 111–124. doi: 10.1007/978-3-319-75996-8_5
13. Popov I.Y., Popov A.I. Quantum dot with attached wires: resonant states completeness // Reports on Mathematical Physics. 2017. V. 80. N 1. P. 1–10. doi: 10.1016/s0034-4877(17)30054-x
14. Nikol'skii N. Treatise on the Shift Operator: Spectral Function Theory. Berlin: Springer, 1986. 491 p. doi: 10.1007/978-3-642-70151-1
15. Sz.-Nagy B., Foias C., Bercovici H., Kerchy L. Harmonic Analysis of Operators on Hilbert Space. 2nd ed. Berlin: Springer, 2010. 474 p. doi: 10.1007/978-1-4419-6094-8

This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License